这里介绍了若干种级数展开的方式：
泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说，如果函数
f
:
U
↦
R
{\displaystyle f:U\mapsto \mathbb {R} }
在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
附近是无限可微的，那么
f
{\displaystyle f}
在该点周围的泰勒级数为
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}
，按照惯例
0
0
:=
1
{\displaystyle 0^{0}:=1}
。
f
{\displaystyle f}
的麦克劳林级数是其在
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸，允许负指数项；它的形式是
∑
k
=
−
∞
∞
c
k
(
z
−
a
)
k
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}
并在环内收敛。
广义狄利克雷级数具有
∑
n
=
1
∞
a
n
e
−
λ
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
。
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地，一个周期为
2
L
{\displaystyle 2L}
的函数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
的傅里叶级数为：
a
0
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
(
n
π
t
L
)
+
b
n
sin
(
n
π
t
L
)
)
{\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right)}
其中系数为：
a
n
:=
1
L
∫
−
L
L
f
(
t
)
cos
(
n
π
t
L
)
d
t
{\displaystyle a_{n}:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt}
b
n
:=
1
L
∫
−
L
L
f
(
t
)
sin
(
n
π
t
L
)
d
t
.
{\displaystyle b_{n}:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.}
在声学中，基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。
斯特林公式
Ln
Γ
(
z
)
∼
(
z
−
1
2
)
ln
z
−
z
+
1
2
ln
(
2
π
)
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
(
2
k
−
1
)
z
2
k
−
1
{\displaystyle {\text{Ln}}\Gamma \left(z\right)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}
是对数Γ函数的一个近似值。